Question

如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．（两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动）
（1）观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？
（2）分别求出平移距离为4cm或10cm时，重叠部分的面积．
（3）若平移的距离为x，当x______时，重叠部分为三角形；当x______时，重叠部分为五边形．
（4）若重叠部分的面积为Scm³，请写出S关于x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如下图：


（2）当平移距离为4cm时，重叠部分是三角形OAA′，如右图，此时AA′=4cm．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴S_△OAA′=×4²=4（cm²）；
当平移距离为10cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如右图，此时AA′=10cm．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=3cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=3cm．
∴S_{五边形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=×10²-×3×3×2=25-9=16（cm²）；

（3）若平移的距离为x，当x≤7cm时，重叠部分为三角形；当x≥7cm时，重叠部分为五边形；
故答案为≤7cm，≥7cm．

（4）分两种情况讨论：
①当x≤7cm时，重叠部分为三角形OAA′，如右图，此时AA′=x．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴S=S_△OAA′=x²；
②当14cm≥x≥7cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如右图，此时AA′=x．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=（x-7）cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=（x-7）cm．
∴S=S_{五边形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=x²-×（x-7）×（x-7）×2=x²-（x-7）²=-x²+14x-49．
分析：（1）将右边的一块三角板固定，左边的三角板从左往右平移，观察发现，平移过程中的重叠部分，刚开始的三角形由小到大，后来是五边形；
（2）根据平移距离为4cm或10cm时，重叠部分的图形分别为三角形和五边形，即可求出面积；
（3）由图可知，当x≤7cm时，重叠部分为三角形；当x≥7cm时，重叠部分为五边形；
（4）分两种情况讨论：①当x≤7cm时，重叠部分为三角形；②当14cm≥x≥7cm时，重叠部分为五边形．
点评：本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，综合性较强，难度中等，得出重叠部分的图形随平移的距离x的变化而变化，进行分类讨论是解题的关键．