如图.在平面直角坐标系中.AB⊥x轴于点B.AB=6.tan∠AOB=$\frac{3}{4}$.将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°.得到△OA1B1,再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°.得到△OA2B1.抛物线y=ax2+bx+c经过点B.B1.A2．(1)求抛物线的关系式．(2)在第三象限内.抛物线上的点P(m.n).求△PBB1的面积与m的函数关系式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的关系式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P（m，n），求△PBB₁的面积与m的函数关系式．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为$\sqrt{2}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先根据旋转的性质确定点B、B₁、A₂三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求△PBB₁面积的方法，如图1所示，求出△PBB₁的面积表达式，S_△PBB1=S_△PBC+S_{四边形PCOB1}-S_△OBB1，进而得出答案；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB₁的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．

解答解：（1）∵AB⊥x轴，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OB=8，
∴B（-8，0），B₁（0，-8），A₂（6，0）．
∵抛物线y=a（x+8）（x-6）（a≠0）经过点B₁（0，-8），
∴$a=\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$．

（2）点P是第三象限内抛物线$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，$n=\frac{1}{6}{m^2}+\frac{1}{3}m-8$．
于是PC=|n|=-n=$-\frac{1}{6}{m^2}-\frac{1}{3}m+8$，OC=|m|=-m，
BC=OB-OC=4+m，
S_△PBB1=S_△PBC+S_{四边形PCOB1}-S_△OBB1=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{16}{3}$m；

（3）假设在第三象限的抛物线上存在点，使点Q（x₁，y₁）到线段BB₁的距离为$\sqrt{2}$．
如答图2，过点Q作QD⊥BB₁于点D．
由（2）可知，此时△QBB₁的面积可以表示为：$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}$，
在Rt△QBB₁中，BB₁=$\sqrt{O{B}^{2}+O{B}_{1}^{2}}$=$8\sqrt{2}$
∵S△QBB₁=$\frac{1}{2}×QD×B{B_1}$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，
∴$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}=8$，
解得：x₁=-2或x₁=-6
当x₁=-2时，y₁=-8；当x₁=-6时，y₁=-4，
∴Q（-2，-8）或Q（-6，-4）．