题目内容
8．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的关系式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P（m，n），求△PBB1的面积与m的函数关系式．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为$\sqrt{2}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求△PBB1面积的方法，如图1所示，求出△PBB1的面积表达式，S△PBB1=S△PBC+S四边形PCOB1-S△OBB1，进而得出答案；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
解答 
解：（1）∵AB⊥x轴，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OB=8，
∴B（-8，0），B1（0，-8），A2（6，0）．
∵抛物线y=a（x+8）（x-6）（a≠0）经过点B1（0，-8），
∴$a=\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$．
（2）点P是第三象限内抛物线$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，$n=\frac{1}{6}{m^2}+\frac{1}{3}m-8$．
于是PC=|n|=-n=$-\frac{1}{6}{m^2}-\frac{1}{3}m+8$，OC=|m|=-m，
BC=OB-OC=4+m，
S△PBB1=S△PBC+S四边形PCOB1-S△OBB1=-$\frac{2}{3}$m2-$\frac{16}{3}$m；
（3）假设在第三象限的抛物线上存在点，使点Q（x1，y1）到线段BB1的距离为$\sqrt{2}$．
如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}$，
在Rt△QBB1中，BB1=$\sqrt{O{B}^{2}+O{B}_{1}^{2}}$=$8\sqrt{2}$
∵S△QBB1=$\frac{1}{2}×QD×B{B_1}$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，
∴$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}=8$，
解得：x1=-2或x1=-6
当x1=-2时，y1=-8；当x1=-6时，y1=-4，
∴Q（-2，-8）或Q（-6，-4）．
点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
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