题目内容

如图：若⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足为P，PA=3，BC= $数学公式$ ．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

解：（1）如图：连接OC，
∵OA⊥BC，PA=3，BC= $\text{[math]}$ ，设圆O的半径为r
∴在Rt△OPC中，PC= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ，OP=r-3，OC=r
根据勾股定理：OP²+PC²=OC²，即（r-3）²+（3 $\text{[math]}$ ）²=r²，
解得：r=6
即圆O的半径是6；

（2）如图：连接OB，
∵OA⊥BC，PA=3，PC= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ，r=6，
∴OP=3，sin∠POC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠POC=60°，∠BOC=120°
∴S_阴影部分=S_扇形OBAC-S_△OBC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×6 $\text{[math]}$ ×3=12π-9 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OC，由OA垂直BC，利用垂径定理求出PC的长，设圆的半径为r，根据PA=3表示出OP的长，在直角三角形OPC中利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径；
（2）连接OB，利用PC与OC的长，根据三角函数的定义求出角COP的度数，进而得到角BOC的度数，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式分别求出扇形OBAC的面积和三角形OBC的面积，相减即可得到阴影部分的面积．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积公式以及三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．