Question

【题目】在平面直角坐标系中，的边在轴上，点，线段，线段，且，与轴的交点为，连接．

（1）如图1，在线段上有两个动点（在上方），且，点为中点，点为线段上一动点，当的值最小时，求出的坐标及的面积．

（2）沿轴平移，当点平移到边上时，平移后的，在轴上一动点，在平面直角坐标系内有一动点，使点形成的四边形为菱形，若存在直接写出点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（，-3），的面积=2；（2）（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）

【解析】

（1）先根据直角三角形的性质求出OE=2，由勾股定理得BE=4，得出∠ABE=30°，∠EBC=90°，作点F关于EB的对称点H，过H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，则KH=KF，HP的长即KF+KP 的最小值，此时的值最小，由（在上方），且可得出此时点G于点B重合，根据直角三角形的性质求出HP、HM、HK、MK、MG的长，即可解答本题；

（2）沿轴平移，当点平移到边上时，平移后的中与B重合，分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质等知识一一求解即可．

解：（1）由题意得OA=2，则OB=6，

∵，

∴∠AEO=30°，OE=2，

Rt△OBE中，BE==4，

∴∠ABE=30°，

∵，，

∴∠ABC=180°-∠BAD =120°，∠C=60°，AD=BC=6

∴∠EBC=90°，EB⊥BC，

作点F关于EB的对称点H，过H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，则KH=KF，HP的长即KF+KP 的最小值，此时的值最小，

∵ HP⊥CD，∠C=60°

∴∠H=30°

∵点为中点，BC=6，点F关于EB的对称点H，

∴HG=3，CH=9，

在Rt△CPH，Rt△HBK，Rt△HBM中，

HP=，，KH=2，BM=，HM=，

∴MP=HP-HM=3，OM=OB-BM=，MK=HK-HM=，

∴P的坐标（，-3）；

∵线段上有两个动点（在上方），且，，

∴此时点G于点B重合，

∴的面积=AGKM=×8×=2；

胡答案为：P（，-3），的面积=2；

（2）①如图，为对角线时，作NH⊥AB与H，由题意得A1B1=8，E1B1=4，∠B1A1E1=60°，∠A1B1E1=30°，E1A1=4，

∵菱形

∴∠A1B1N=60°，∠A1ME1=∠MA1E1=60°，

∴ME1= A1E1=B1N=4，

∴HB1=2，HN=2，

∴OH=OB1-HB1=12，

∴点的坐标（12，-2）；

②为对角线时，

∵菱形

∴∠E1B1N=60°，NE1=B1E1=4， HE1=HN=2，

∴HB1=6，

∴OH=OB1-HB1=8，

∴点的坐标（8，2）；

为对角线时，作NH⊥AB与H，

由题意得∠B1MN=30°，MN=B1E1=B1M=4，

∴HM=6，HN=2，

∴B1H=4-6，

∴OH=OB1+HB1=14+（4-6）=8+4，

∴点的坐标（8+4，-2）．

故点的坐标为：（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）．