Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝_________．

Answer 1

【答案】或7

【解析】分析：分两种情况：①如图1，作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10，由中点的定义求出AD和BD的长，证明四边形HFGB是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长，并由翻折的性质得：∠=∠A， =AD=5，由矩形性质和勾股定理可以得出结论： =；②如图2，作辅助线，构建矩形，同理可以求出的长．

详解：分两种情况：

如图1,过D作DG⊥BC与G,交A′E与F,过B作BH⊥A′E与H，

∵D为AB的中点，

∴BD=AB=AD,

∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴BD=AD=5，

sin∠ABC=，

∴ ，

∴DG=4，

由翻折得：∠DA′E=∠A,A′D=AD=5，

∴sin∠DA′E=sin∠A= ，

∴，

∴DF=3，

∴FG=43=1，

∵A′E⊥AC，BC⊥AC，

∴A′E∥BC，

∴∠HFG+∠DGB=180°，

∵∠DGB=90°，

∴∠HFG=90°，

∵∠EHB=90，

∴四边形HFGB是矩形，

∴BH=FG=1，

同理得：A′E=AE=81=7，

∴A′H=A′EEH=76=1，

在Rt△AHB中,由勾股定理得：A′B=；

②如图2,过D作MN∥AC,交BC与于N,过A′作A′F∥AC,交BC的延长线于F,延长A′E交直线DN于M，

∵A′E⊥AC,

∴A′M⊥MN,A′E⊥A′F，

∴∠M=∠MA′F=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠F=∠ACB=90°，

∴四边形MA′FN是矩形，

∴MN=A′F,FN=A′M，

由翻折得：A′D=AD=5，

Rt△A′MD中,∴DM=3,A′M=4，

∴FN=A′M=4，

Rt△BDN中，∵BD=5，

∴DN=4，BN=3，

∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，

BF=BN+FN=3+4=7，

Rt△ABF中,由勾股定理得：A′B=；

综上所述的长为或

故答案为： 或.

本题考查的是图形的翻折变换及等腰直角三角形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理的综合运用，题型难度较大.