Question

如图：在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，顶点B（4，2）在抛物线y=ax²+bx上，且抛物线交x轴于另一点D（6，0），抛物线的对称轴交BC边于E，直线AE分别交y轴于F、交OB于P．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）若以点O为圆心，OP为半径作⊙O，试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若动直线MN⊥x轴于N交抛物线于M，且在y轴的右侧运动，是否存在点M使得△AMN与△ABP相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将B、D的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．
（2）由图观察，⊙O可能与直线AE相切，然后着手证明，分析图形可知通过相似来证明OP⊥AE较简单；由于O、D关于抛物线对称轴对称，即可确定该抛物线对称轴方程，进而可得到CE、BE的长，根据B点坐标易求出AB、OA的长，通过证△ABE∽△OAB，可得到∠AEB=∠ABO，而∠ABE、∠BAE互余，那么∠BAE和∠ABP互余，由此可证得∠APB=90°即AE⊥OP，已知OP是⊙P的半径，即可证得直线AE与⊙O相切．
（3）此题较复杂，应该分情况讨论；首先易证得△ABP∽△BEP，即可得到BP、AP的比例关系为AP=2BP，若△AMN和△ABP相似，那么MN=2AN或AN=2MN，然后设出点N的坐标，进而可表示出点M的坐标；然后表示出MN、AN的表达式，根据①N在点A左侧，②N在点A右侧两种情况下AN的不同表达式，以及上面所得AN、MN的等量关系，列方程求得M点的坐标．（注意：②中应该分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．）

解答：解：（1）由题意知：抛物线经过B（4，2），D（6，0），则有：

16a+4b=2 36a+6b=0

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

；
∴抛物线的解析式为：y=-

1

4

x2+

3

2

x．

（2）相切，理由如下：
∵O（0，0）、D（6，0），且O、D关于抛物线的对称轴对称，
∴该抛物线的对称轴为：x=3；
故CE=3，BE=1；
又∵OA=4，AB=2，
∴

BE

AB

=

AB

OA

=2；
∵∠ABE=∠OAB=90°，
∴△ABE∽△OAB，
故∠AEB=∠OBA；
∵∠AEB=∠BAP=90°，则∠BAP+∠OBA=90°，
∴∠APB=90°，即AE⊥OP；
而OP为⊙O的直径，故直线AE与⊙P相切．

（3）假设存在符合条件的M点，
设N（a，0），则M（a，-

1

4

a²+

3

2

a）；
由（2）知AE⊥OP，在Rt△ABP中，则有：
△BPE∽△APB，
故AP：PB=AB：BE=2：1，即AP=2PB；
若△AMN与△ABP相似，则AN=2MN或MN=2AN；
①当点N在A点左侧时（0＜a＜4），AN=4-a，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
当AN=2MN时，4-a=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=4+2

2

（舍去），a=4-2

2

；
当MN=2AN时，2（4-a）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=7+

17

（舍去），a=7-

17

；
故M（7-

17

，2

17

-6）或M（4-2

2

，

2

）；
②当点N在A点右侧时；
1）当M在x轴上方时（4＜a＜6），AN=a-4，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
当AN=2MN时，a-4=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=2-2

3

（舍去），a=2+2

3

；
当MN=2AN时，2（a-4）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=-1-

33

（舍去），a=-1+

33

；
故M（-1+

33

，2

33

-10）或M（2+2

3

，

3

-1）；
2）当M在x轴下方时（a＞6），AN=a-4，MN=

1

4

a²-

3

2

a；
当AN=2MN时，a-4=2（

1

4

a²-

3

2

a），解得：a=4-2

2

（舍去），a=4+2

2

；
当MN=2AN时，2（a-4）=

1

4

a²-

3

2

a，解得：a=7-

17

（舍去），a=7+

17

；
故M（4+2

2

，-

2

）或M（7+

7

，-2

17

-6）；
综上所述，存在六个符合条件的M点，且它们的坐标为：
M1(7-

17

，2

17

-6)、M2(7+

17

，-2

17

-6)、M3(4-2

2

，

2

)、M4(4+2

2

，-

2

)、M5(-1+

33

，2

33

-10)、M₆（2+2

3

，

3

-1）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到：矩形的性质、二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点．（3）题中，由于相似三角形的对应边和对应角以及M点的位置也不明确，一定要分类讨论，以免漏解．