题目内容
下列命题：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的是( )
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
C【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】①首先把a+b+c=0变形为b=﹣a﹣c，然后代入b2﹣4ac中利用完全平方公式即可解决问题；
②首先b=2a+3c代入方程的判别式中，然后利用非负数的性质即可解决问题；
③由于b2﹣4ac＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，由此即可判定此结论是否正确；
④由于b＞a+c，只要给出一个反例即可解决问题．
【解答】解：①∵a+b+c=0，
∴b=﹣a﹣c，
∴b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b2﹣4ac=（2a+3c）2﹣4ac=4a2+12ac+9c2﹣4ac=4a2+8ac+9c2=4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确；
③∵b2﹣4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=﹣4，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=4﹣32＜0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故错误．
故选C．
【点评】此题主要利用了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
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B．
D．
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