Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形OABC中，点A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．

【解析】试题分析：由矩形的性质得出∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，求出OD＝AD＝5，分情况讨论：①当PO＝PD时；②当OP＝OD时；③当DP＝DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．

试题解析：解：∵四边形OABC是长方形，

∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.

∵D为OA的中点，

∴OD＝AD＝5.

①当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，

∴点P的坐标为(2.5，4)．

②当OP＝OD时，如解图①所示．

则OP＝OD＝5，PC＝＝3，

∴点P的坐标为(3，4)．

①

③当DP＝DO时，过点P作PE⊥OA于点E，

则∠PED＝90°，DE＝＝3.

分两种情况讨论：当点E在点D的左侧时，如解图②所示．

②

此时OE＝5－3＝2，

∴点P的坐标为(2，4)．

当点E在点D的右侧时，如解图③所示．

③

此时OE＝5＋3＝8，

∴点P的坐标为(8，4)．

综上所述，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．