如图.矩形ABCD中.AB=4.AD=3.∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动.过点P作PQ⊥AB于点Q.以PQ为边向右作平行四边形PQMN.点N在射线AE上.且AP=PN．设P点运动时间为t秒．(1)当点M落在BC上时.求线段PQ的长．(2)当点C落在平行四边形PQMN的对角线上时.求t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP=PN．设P点运动时间为t秒．
（1）当点M落在BC上时，求线段PQ的长．
（2）当点C落在平行四边形PQMN的对角线上时，求t的值．
（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式．
（4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．

分析（1）如图1中，当点M在BC上时，只要证明AQ=QB即可解决问题．
（2）①当点C落在对角线PM上时，点P与点E重合，如图2中，此时，AP=3$\sqrt{2}$，由此解决问题．②当点C落在对角线NQ上时，如图3中，延长NM交AB的延长线于G，只要证明BC=2QB即可列出方程解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图4中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形PQMN．②如图5中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE．③如图6中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．分别求解即可．
（4）分三种情形讨论即可）①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB．②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED．③如图9中，当△PEK≌△QGB时，分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，

当点M在BC上时，∵PQ∥BN，AP=PN，
∴AQ=QB，∵AB=4，
∴AQ=2，AP=$\sqrt{2}$AQ=2$\sqrt{2}$．

（2）①当点C落在对角线PM上时，点P与点E重合，如图2中，

此时，AP=3$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
②当点C落在对角线NQ上时，如图3中，延长NM交AB的延长线于G．

∵BC∥NG，
∴$\frac{BC}{GN}$=$\frac{QB}{QG}$，
∴$\frac{QB}{BC}$=$\frac{QG}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴3=2（4-t），
∴t=$\frac{5}{2}$，
综上所述当t=$\frac{5}{2}$或3s时，点C在行四边形PQMN的对角线上．

（3）①如图4中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形PQMN，S=t²，

②如图5中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE，

S=S_{平行四边形PQMN}-S_△NGE=t²-$\frac{1}{2}$[$\frac{2\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$]²=-t²+6t-$\frac{9}{2}$．
③如图6中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．

S=S_矩形QBCK-S_△KPE-S_△QBG=3（4-t）-$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}$）²-$\frac{1}{2}$（4-t）²=-t²+4t-$\frac{1}{2}$，
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-{t}^{2}+6t-\frac{9}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t≤2）}\\{-{t}^{2}+4t-\frac{1}{2}}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB，此时t=2．

②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED，此时t=3．

③如图9中，当△PEK≌△QGB时，由EK=BQ得到，$\frac{\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4-t，解得t=$\frac{7}{2}$，

综上所述t=2s或3s或$\frac{7}{2}$s时，整个图形中形成的三角形存在全等三角形．