Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，DE∥AC交AB于E，且AD=2，AC=

3

．
（1）求∠B的度数；
（2）求S_△ADE：S_△ADC？

Answer 1

分析：（1）由已知AD=2，AC=

3

，在Rt△ACD中，可求出∠ADC=60°，即得∠CAD=30°，又AD为∠BAC的角平分线，所以得∠BAC=60°，从而求出∠B=30°；
（2）在Rt△ACD中，可求出CD，即可求出三角形ACD的面积，再过点E作EF⊥AD交AD于F，由DE∥AC得△EDA为等腰三角形，从而求出EF，则求出三角形ADE的面积，即得答案．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，
sin∠ADC=

AC

AD

=

3

2

，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
又AD为∠BAC的角平分线，所以得∠BAC=60°，
∴∠B=30°；

（2）在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=

1

2

AD=1，
∴S_△ADC=

1

2

AC•CD=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
过点E作EF⊥AD交AD于F，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠EAD=30°，
∴△EDA为等腰三角形，
∴AF=DF=1，
∴EF=DF•tan30°=1×

3

3

，
∴S_△ADE=

1

2

AD•EF=

1

2

×2×

3

3

=

3

3

，
∴S_△ADE：S_△ADC=

3

3

：

3

2

=2：3．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是运用直角三角形三角函数及角平分线性质求出∠B，再由平行线性质得等腰三角形及三角函数求出EF．