Question

边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为________．

Answer 1

1++
分析：连接OC，当OC垂直平分AB时，线段OC的长最大，在两个直角三角形△ACE和△AOE中进行计算求出OC的长．
解答：解：如图：
连接OC，当OC垂直平分AB时，OC最大．
此时∠ACO=30°，∠AOC=22.5°．
在直角△ACE中，CE=AC•sin60°=2×=．AE=AC•cos60°=2×=1．
在直角△AOE中，∠AOE=22.5°，∠OAE=67.5°，
在EO上截取EF=EA=1，连接AF，则△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=，∠EAF=45°，
∴∠FAO=22.5°=∠FOA．
∴FO=FA=，
∴OC=OF+FE+EC=+1+．
故答案是：1++．
点评：本题考查的是解直角三角形，在直角△ACE中，用余弦求出CE的长，在直角△AOE中，根据两个锐角的关系，在较长直角边上截取较短的直角边长，根据等腰直角三角形以及等边对等角求出OE的长，然后得到OC的值．