Question

4．已知二次函数y=-x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-8	-3	0	1	0	-3	…

（1）求该二次函数的表达式；
（2）当x为何值时，y由最大值，最大值是多少？
（3）若A（m，y₁），B（m+1，y₂）两点都在该函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）从表格中得到二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），于是可利用交点式写出二次函数解析式；
（2）利用二次函数的对称性得到抛物线对称轴方程，然后根据二次函数的性质可得到y的最大值；
（3）根据点A和点B到对称轴的距离的远近进行分类讨论，然后根据二次函数的性质判断y₁与y₂的大小．

解答 解：（1）∵二次函数图象经过点（1，0）和（3，0），
∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；
（2）∵a=-1＜0，
而抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y有最大值，最大值为1；
（3）当m≥2时，y₁＞y₂；
当m≤1时，y₁＜y₂；
当1＜m≤1.5时，y₁≤y₂；
当1.5＜m＜2时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．