Question

已知抛物线C：y=x²+2x-3．

抛物线	顶点坐标	与x轴交点坐标		与y轴交点坐标
抛物线C：y=x2+2x-3	A（   ）	B（   ）	（1，0）	（0，-3）
变换后的抛物线C1

（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；
（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的

1

2

，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为C₁），且抛物线C₁的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线C₁对应的函数表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）利用配方法得到y=（x+1）²-4，根据二次函数的性质即可得到A点坐标，再令y=0得x²+2x-3=0，然后解方程即可得到B点坐标；再利用描点法画抛物线；
（2）利用抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的

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2

，得到点A的对应点A₁（-2，-2），点B的对应点B₁（-6，0），由于抛物线C₁的顶点坐标为A₁（-2，-2），然后设顶点式求出抛物线C₁的解析式．

解答：解：（1）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，则顶点A的坐标为（-1，-4），
当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，则B点坐标为（-3，0），（1，0），
如图；
（2）点A的对应点A₁（-2，-2），点B的对应点B₁（-6，0），
由于抛物线C₁的顶点是抛物线C的顶点的对应点，
所以抛物线C₁的顶点坐标为A₁（-2，-2），
设抛物线C₁的解析式为y=a（x+2）²-2，
把点B₁（-6，0）代入得a•（-6+2）²-2=0，解得a=

1

8

，
所以抛物线C₁的解析式为y=

1

8

（x+2）²-2=

1

8

x²+

1

2

x-

3

2

．
故答案为（-1，-4），（-3，0）；A₁（-2，-2），B₁（-6，0），（2，0），（0，-

3

2

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．