Question

【题目】如图，等边，点为射线上一点，延长至点，使得，联结并延长交射线于点。

（1）当点在边上时，如图1，若，则

（2）当点在边上时，如图2，若，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出与的数量关系并证明。

（3）当点在边的延长线上时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出与的数量关系并证明。

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）∠CFA+∠DBC=60°，理由见解析．

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE，可求∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，即可求解；
（2）如图2，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，可证△CHE是等边三角形，可得CH=CE=HE=AD，通过证明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性质可求解；
（3）如图3，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，可证△CHE是等边三角形，可得CH=CE=HE=AD，通过证明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性质可求解；

（1）∵△ABE是等边三角形，ED=AD，
∴BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE，
∵EC=AD，∠BEA=60°，
∴∠ECF=30°，
∴∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，
∴∠CFA-∠DBC=90°-30°=60°，
故答案为：60°；
（2）如图2，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，

∵CH∥AB，
∴∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴CH=CE=HE，
∵EC=AD，
∴HE=CH=AD，
∴HE+DE=AD+DE，
∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°，
∴△BAD≌△DHC（SAS）
∴∠DBF=∠HDC，
∵∠CFA=∠CBF+∠BCF=∠CBD+∠DBF+∠BCF，
∴∠CFA-∠DBC=∠DBF+∠BCF=∠HDC+∠BCF=∠BEA=60°；
（3）如图3，过点C作CH∥AB交AE的延长线于H，

∵CH∥AB，
∴∠HCD=∠CFA，∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴CH=CE=HE，
∵EC=AD，
∴HE=CH=AD，
∴HE-DE=AD-DE，
∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°，
∴△BAD≌△DHC，（SAS）
∴∠DBA=∠HDC，∠HCD=∠BDA，
∴∠BDA=∠CFA，
∵∠AEB=∠ADB+∠DBC=60°，
∴∠CFA+∠DBC=60°．