Question

已知二次函数y=mx2-(3m+

4

3

)x+4的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC是等腰三角形，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：由y=mx2-(3m+

4

3

)x+4求出A、B、C三点坐标，再分情况讨论：①AC=BC；②AB=AC；③AB=BC分别满足时m的取值，求得二次函数的解析式．

解答：解：令y=mx2-(3m+

4

3

)x+4=0，则可得出A（3，0）、B（

4

3m

，0）；
再令x=0，y=4，则可得出C点坐标为（0，4）．
由于△ABC是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：
（1）若AC=BC，则

4

3m

=-3，m=-

4

9

，所求二次函数的解析式为y=-

4

9

x²+4；
（2）若AB=AC，则|3-

4

3m

|=|AC|=5，则m=-

2

3

或

1

6

，所求二次函数的解析式为y=-

2

3

x²+

2

3

x+4或y=

1

6

x²-

11

6

x+4；
（3）若AB=BC，则AC的中垂线与x轴的交点即为B点，求出AC的中垂线为：y=

3

4

x+

7

8

，再令y=0，x=-

7

6

，即

4

3m

=-

7

6

，m=-

8

7

，所求二次函数的解析式为y=-

8

7

x²+

44

21

x+4．

点评：本题考查了数形结合的思想，由等腰三角形的两腰相等确定点的坐标，再求解析式里的未知量，确定函数解析式．