题目内容

已知二次函数y=-
1
2
x2+mx+
3
2
的图象经过点A（-3，-6），并且该抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴的交点为E，P为抛物线的顶点．如图所示．
（1）求这个二次函数表达式．
（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，说明直线PC与直线AC的位置关系，并求出点D的坐标．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在一点F，使S△BCF=
3
4
S△BCP？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A点坐标代入二次函数y=-
1
2
x2+mx+
3
2
可求出m，从而确定二次函数的解析式；
（2）先把二次函数配成顶点式得到顶点P的坐标为（1，2），设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，根据点的坐标可得到
△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，则∠PCH=45°，∠ACQ=45°，于是得到直线PC与直线AC垂直；由∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB得到△PDC∽Rt△ABC，根据相似比有
DC
BC
=
PC
AC
，即
3-a
4
=
2
2
6
2
，解得a=
5
3
，从而得到D点坐标；
（3）先计算出S△BCP=4，则S△BCF=
3
4
S△BCP=3，设F点坐标为（x，y），则
1
2
×4×|y|=3，解得y=
3
2
或-
3
2
，然后分别代入二次函数解析式中求出对应的x的值，从而得到F点的坐标．
解答：解：（1）∵点A（-3，-6）在抛物线上，
∴-6=-
1
2
×9-3m+
3
2
，
解得m=1，
∴所求二次函数的表达式为y=-
1
2
x2+x+
3
2
；
（2）∵y=-
1
2
x2+x+
3
2
=-
1
2
（x-1）2+2，
∴P点坐标为（1，2），
如图，设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，
令y=0得-
1
2
x2+x+
3
2
=0，解得x1=-1，x2=3，
∴B点坐标为（-1，0），C点坐标为（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴
DC
BC
=
PC
AC
，即
3-a
4
=
2
2
6
2
，解得a=
5
3
，
∴D坐标为（
5
3
，0）；
（3）存在．
∵S△BCP=
1
2
×4×2=4，
而S△BCF=
3
4
S△BCP，
∴S△BCF=3，
设F点坐标为（x，y）
∴
1
2
×4×|y|=3，
∴y=
3
2
或-
3
2
，
当y=
3
2
时，-
1
2
x2+x+
3
2
=
3
2
，解得x1=0，x2=2；
当y=-
3
2
时，-
1
2
x2+x+
3
2
=-
3
2
，解得x1=1+
7
，x2=1-
7
，
∴F（0，
3
2
）或（2，
3
2
）或（1+
7
，-
3
2
）或（1-
7
，-
3
2
）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：先根据几何条件确定抛物线上点的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式，然后运用二次函数的性质解决有关问题．
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已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（0，-1），D（2，3）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）也在该函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
A、y1≥y2B、y1＞y2C、y1＜y2D、y1≤y2
已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；
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②④⑤
②④⑤
．（请写出所有正确说法的序号）
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（5，0）
（5，0）
．

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