题目内容
【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）①FG =2
；②BC=12
；（2）等腰三角形△DFG的腰长为4或20或
或
．
【解析】（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出
，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
（2）分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；
（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，
中Rt△AEG中，AG=
，
∵EG∥AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴
，
∴FG=
AG=2．
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+（x+90°）+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=
．
（2）在Rt△ABC中，AB=
=15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，
∵DG∥AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15-9x，
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴
，
∴
，
整理得：x2-6x+5=0，
解得x=1或5（舍弃）
∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴
，
解得x=2或-2（舍弃），
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，
∴FH=GH=DGcos∠DGB=（4x+12）×
=
，
∴GF=2GH=
，
∴AF=GF-AG=
，
∵AC∥DG，
∴△ACF∽△GEF，
∴
∴
，
解得x=
或-（舍弃），
∴腰长GD=4x+12=，
如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，
∴FH=GH=DGcos∠DGB=
，
∴FG=2FH=
，
∴AF=AG-FG=
，
∵AC∥EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴
，解得x=或-（舍弃），
∴腰长DG=4x-12=，
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．
