Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接BD、CE，BD，CE相交于点F，且∠ADB=∠DAE．
（1）求证：AD²=BO•BD；
（2）求证：四边形ABFE为菱形．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，证出∠BAC=∠ADB，再由∠ABO=∠DBA，得出△ABO∽△DBA，得出对应边成比例证出AB²=BO•BD，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，得出∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，证出∠DAE=∠ADB，得出AE∥BD，由三角形内角和定理证出∠ABD=∠ACE，得出∠BAC=∠ACE，证出AB∥CE，得出四边形ABFE是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）证明：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∵∠ADB=∠DAE，
∴∠BAC=∠ADB，
又∵∠ABO=∠DBA，
∴△ABO∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BO}{AB}$，
∴AB²=BO•BD，
∴AD²=BO•BD；

（2）证明：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∵∠ADB=∠DAE，
∴AE∥BD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形．

点评 本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定方法、菱形的判定方法、等腰三角形的性质、平行线的判定方法；熟练掌握旋转的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键，有一定难度．