Question

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是      的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

解（1）直线CD与⊙O相切。

   证明：连结AC，OA=OC，

∠OAC=∠OCA，

AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，

∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。

（2）连结OE，， 点E是  的中点，

，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），

∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，

四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC，      OA=OC=OE=1，

OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，

∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，

AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,

CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，

S_阴影=S_△DCE=•ED•DC=××= .

答：图中阴影部分的面积为。