Question

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出的特征数为[m-1，1+m，-2m]的函数的一些结论：
①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（-1，-8）；
②无论m取何值，函数图象与x轴始终有交点；
③当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；
④函数图象一定经过两个定点．
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：①把m=3代入[m-1，1+m，-2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，根据△≥0，即可解答．
③令函数值为0，求得（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，解得x₁=-1，x₂=

2m

m-1

，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．

解答：解：因为函数y=ax²+bx+c的特征数为[m-1，1+m，-2m]；
①当m=3时，y=2x²+4x-6=2（x+1）²-8，顶点坐标是（-1，-8）；此结论正确；
②令y=0，有（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，因为△=（1+m）²-4（m-1）×（-2m）=（3m-1）²≥0，
所以函数图象与x轴始终有交点，此结论正确；
③当m＞1时，令y=0，有（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，解得，x₁=-1，x₂=

2m

m-1

，
|x₂-x₁|=

3m-1

m-1

＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
④经过定点，说明任意x代入，都不存在m，设m=2则x²+3x-2=0，即（x+2）（x-1）=0，即x=-2或1．当x=1时，y=（m-1）x²+（1+m）x-2m=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当x=-2时，y=（m-1）x²+（1+m）x-2m=-6即对任意m，函数图象都经过点（-2，-6），函数图象都经过两个点（1，0），（-2，-6），此结论正确．
根据上面的分析，①②③④都是正确的．
故答案为：①②③④．

点评：此题考查二次函数的性质，顶点坐标，抛物线与x轴的交点情况，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是和点的坐标特征是解题的关键．