Question

如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线的对称轴为）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）M

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线经过A（－3，0）、C（4，0）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)，再把B（0，4）代入即可求得结果；

（2）找到变化过程中的不变关系：△CDQ∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求得结果；

（3）因为A、C关于对称，所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值，根据两点之间线段最段，A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值．

（1）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)

因为B（0，4）在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)，解得

所以抛物线解析式为 

（2）连接DQ，

在Rt△AOB中，

所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2

因为BD垂直平分PQ，

所以PD＝QD，PQ⊥BD，

所以∠PDB＝∠QDB

因为AD＝AB，

所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，

所以DQ∥AB

所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，

所以△CDQ∽△CAB

所以即

所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5＝，

所以t的值是；                                        

（3）对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小

理由：因为抛物线的对称轴为

所以A（－3，0），C（4，0）两点关于直线对称

连接AQ交直线于点M，则MQ＋MC的值最小

过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED＝∠BOA＝90⁰

所以DQ∥AB，

所以∠ BAO＝∠QDE， 

所以△DQE ∽△ABO

所以，即

所以QE＝，DE＝，

所以OE＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q（，）

设直线AQ的解析式为

则 由此得

所以直线AQ的解析式为 

由得

则在对称轴上存在点M，使MQ＋MC的值最小．

考点：二次函数的综合题

点评：此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的思维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．