Question

如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y_＝  x和y_＝－  x＋  ．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

（3）若正方形以每秒  个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

 

Answer 1

解：（1）联立     解得

∴A（4，3），∴OA＝ ＝5

∴正方形OABC的边长为5

（2）要使△CPQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的

四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ为等腰三角形即可

当t＝2秒时

∵点P的速度为每秒1个单位，∴CP＝2

分两种情况：

①当点Q在OA上时，∵PQ≥BA＞PC，∴只存在一点Q，使QC＝QP

作QN⊥CP于N，则CN＝  CP＝OQ＝1

∴QA＝5－1＝4，∴k＝  ＝2

②当点Q在OC上时，同理只存在一点Q，使CP＝CQ＝2

∴OQ＋OA＝10－2＝8，∴k＝  ＝4

综上所述， k值为2或4

（3）①当点A运动到点O时，t＝3

当0＜t ≤3时，设O^′C^′ 交x轴于点D

则tan∠DOO^′＝  ，即  ＝  ＝  ，∴DO^′＝  t

∴S＝  DO^′·OO^′＝ ^· t^· t＝  t ²

②当点C运动到x轴上时，t＝( 5×  )÷＝4

当3＜t ≤4时，设A^′B^′ 交x轴于点E

∵A^′O＝  t－5，∴A^′E＝  A^′O＝

∴S＝ ( A^′E＋O^′D)^·A^′O^′＝ (  ＋  t )^·5＝