题目内容

如图（1）是面积为1的阴影三角形，连接它的各边中点．挖去中间的三角形得到图（2）．再分别连接剩下的每个阴影三角形的各点中点．挖去中间的三角形得到图（3）．再用同样的方法得到图（4）．则图（4）中阴影部分的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE= $\text{[math]}$ BC，推出△ADE∽△ABC， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出△DEF∽△ACB，推出△DEF和△ACB的面积比是（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，求出△DEF的面积，同理求出△GHI和△KZM的面积，根据图形求出即可．
解答：∵D是AB中点，E为AC中点，
∴DE∥BC，DE= $\text{[math]}$ BC，
∴△ADE∽△ABC， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，

∵D是AB中点，E为AC中点，F为BC中点，
∴DE= $\text{[math]}$ BC，EF= $\text{[math]}$ AB，DF= $\text{[math]}$ AC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△DEF∽△ACB，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC的面积是1，
∴△DEF的面积是 $\text{[math]}$ ，
∴S_△DEF=S_△ADE，
∴S_△DEF=S_△ADE= $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ ，
同理求出△GHI和△DEF的面积比是1：4，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△GHI的面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理求出△KMZ和△GHI的面积比是1：4，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△KMZ的面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴阴影部分的面积是1- $\text{[math]}$ -3× $\text{[math]}$ -9× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的中位线等知识点，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．