Question

如图（1）是面积为1的阴影三角形，连接它的各边中点．挖去中间的三角形得到图（2）．再分别连接剩下的每个阴影三角形的各点中点．挖去中间的三角形得到图（3）．再用同样的方法得到图（4）．则图（4）中阴影部分的面积为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  9

  16

• C．

  9

  64

• D．

  27

  64

Answer 1

分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，推出△ADE∽△ABC，

DE

BC

=

1

2

，求出△DEF∽△ACB，推出△DEF和△ACB的面积比是（

1

2

）²=

1

4

，求出△DEF的面积，同理求出△GHI和△KZM的面积，根据图形求出即可．

解答：解：∵D是AB中点，E为AC中点，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴△ADE∽△ABC，

DE

BC

=

1

2

，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

1

2

）²=

1

4

，
∵D是AB中点，E为AC中点，F为BC中点，
∴DE=

1

2

BC，EF=

1

2

AB，DF=

1

2

AC，
∴

DE

BC

=

EF

AB

=

DF

AC

=

1

2

，
∴△DEF∽△ACB，
∴

S△DEF

S△ACB

=（

1

2

）²=

1

4

，
∵△ABC的面积是1，
∴△DEF的面积是

1

4

，
∴S_△DEF=S_△ADE，
∴S_△DEF=S_△ADE=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
同理求出△GHI和△DEF的面积比是1：4，即

S△GHI

S△DEF

=

1

4

，
∴△GHI的面积是

1

4

×

1

4

=

1

16

，
同理求出△KMZ和△GHI的面积比是1：4，即

S△KMZ

S△GHI

=

1

4

，
∴△KMZ的面积是

1

4

×

1

16

=

1

64

∴阴影部分的面积是1-

1

4

-3×

1

16

-9×

1

64

=

27

64

．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的中位线等知识点，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．