题目内容
如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（
→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．则OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A=
OP•OQ=t（3-t），当t=
时，Smax=
．
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．
（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．若PQ∥AB，则
=
，
∴
=
，
解得t=
．
此时，P（0，
），Q（
，0）．（2分）
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．若PQ∥OB，
则
=
，∴
=
，
解得t=
．
此时，P（
，
），Q（
，
）．（2分）
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则
=
，∴
=
，
解得t=
．
此时，P（0，
），Q（
，
）．（2分）
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．
（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．若PQ∥AB，则
| OP |
| OQ |
| 6 |
| 8 |
∴
| 6-2t |
| t |
| 3 |
| 4 |
解得t=
| 24 |
| 11 |
此时，P（0，
| 18 |
| 11 |
| 24 |
| 11 |
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．若PQ∥OB，
则
| AQ |
| PA |
| 8 |
| 18 |
| 8-t |
| 2t-14 |
| 4 |
| 5 |
解得t=
| 96 |
| 13 |
此时，P（
| 96 |
| 13 |
| 6 |
| 13 |
| 96 |
| 13 |
| 6 |
| 13 |
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则
| BP |
| BQ |
| 6 |
| 10 |
| 2t-24 |
| 18-t |
| 3 |
| 5 |
解得t=
| 174 |
| 13 |
此时，P（0，
| 42 |
| 13 |
| 48 |
| 13 |
| 42 |
| 13 |
解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．
则OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A=
OP•OQ=t（3-t），（2分）
当t=
时，Smax=
．（2分）
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．
设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．（4分）
（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．
若PQ∥AB，则
=
，∴
=
，解得t=
．
此时，P（0，
），Q（
，0）．（2分）
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．
若PQ∥OB，则
=
，∴
=
，解得t=
．
此时，P（
，
），Q（
，0）．（2分）
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则
=
，∴
=
，
解得t=
．
此时，P（0，
），Q（
，
）．（2分）
在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．
则OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A=
| 1 |
| 2 |
当t=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．
设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．（4分）
（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．
若PQ∥AB，则
| OP |
| OQ |
| 6 |
| 8 |
| 6-2t |
| t |
| 3 |
| 4 |
| 24 |
| 11 |
此时，P（0，
| 18 |
| 11 |
| 24 |
| 11 |
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．
若PQ∥OB，则
| AQ |
| PA |
| 8 |
| 10 |
| 8-t |
| 2t-14 |
| 4 |
| 5 |
| 96 |
| 13 |
此时，P（
| 96 |
| 13 |
| 6 |
| 13 |
| 96 |
| 13 |
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则
| BP |
| BQ |
| 6 |
| 10 |
| 2t-24 |
| 18-t |
| 3 |
| 5 |
解得t=
| 174 |
| 13 |
此时，P（0，
| 42 |
| 13 |
| 48 |
| 13 |
| 42 |
| 13 |
点评：此题很复杂，把动点问题与实际相结合，有一定的难度，解答此题的关键是分别画出t在不同阶段Q的位置图，结合相应的图形解答．
练习册系列答案
相关题目
=2，∠ADC=30°
30、如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ）
如图，已知：DE∥BC，AB=14，AC=18，AE=10，则AD的长为（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
13、如图，已知直线AB∥CD，∠1=50°，则∠2=