题目内容
【题目】将抛物线
向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到一个新的抛物线．
（1）求新的抛物线的解析式．
（2）过
作直线
，使得直线与新的抛物线仅有一个公共点，求直线的解析式及相应公共点的坐标．
（3）请猜想在新的抛物线上是否有且仅有四个点
、
、
、
使得、、、分别与（2）中的所有公共点所围成的图形的面积均为S？若有，请求出S并直接写出、、、的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）l的解析式为：y=x+2；y=3x-6，x=2；直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4) ；（3）S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（
,
），P4为（
,
）.
【解析】
（1）根据二次函数平移的特点即可求解；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b,把M代入，再与二次函数联立，根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（3）由AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点，①当P在AC下方的抛物线上时，求出此时
=2，,②当P在BC下方的抛物线上时，设P为
，D为（t，2t），得到
，利用
求出S的最大值也为2，故当P点在直线AB上方时，与A,C围成的面积也为2，故可得到P到AC的距离为1，根据直线AB的解析式特点可知将
直线AB向上平移
个单位即可满足要求，得到平移后的解析式，再联立抛物线即可出P3,P4的坐标.
解：（1）∵
∴把函数向左平移2个单位，向上平移4个单位后抛物线的顶点为（0,3），
∴新的抛物线的解析式为，
（2）解： 设直线l的解析式为：y=kx+b,将M（2,0）代入得
∴
∴直线l为
又直线
与新的抛物线仅有一个公共点，
∴
只有一个解，
化简得
∴
解得：
，
当时，直线l为
由
解得
∴A（-2，4）
当
时，直线l为
由
解得
∴B（6，12）
过点M（2,0）作直线l⊥x轴，交抛物线于C点，则直线l为x=2,
公共点C为（2,4），
综上所述：直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）
直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）
直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4)
（3）在新的抛物线上有且仅有四个点P1、P2、P3、P4使其分别与（2）中的所有公共点A、B、C所围成的四边形面积均为S.
∵AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点.
①当P在AC下方的抛物线上时
∵AC∥x轴，
∴当P为（0,3），
②当P在BC下方的抛物线上时
设P为由待定系数法得BC:y=2x
作PD//y轴交BC于D，则D为（t，2t）
∴
∴
∵它是一个开口向下，顶点为（4，2）的抛物线
∴当P为（4，7）时，
∴
∴
此时 
∵A（-2,4），B（6,12）
∴求得AB解析式为
，
∵A、B两点的横坐标之差的绝对值为8，A、C两点的横坐标之差的绝对值为4，P到AC的距离为1.
∴将直线AB向上平移个单位得
l交抛物线于
和
两点
由
，解得
，
综上，S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（,），P4为（,）.
