Question

【题目】如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点得的四边形EFGH是矩形，则称原四边形ABCD为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中母矩形”.

（1）如图2，在直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（1，4），C（4，6），请在格点上标出D点的位置（只标一点即可），使四边形ABCD是中母矩形.并写出点D的坐标.

（2）如图3，以△ABC的边AB，AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE，BG相交于点O，试判断四边形BEGC是中母矩形？说明理由.

（3）如图4，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，E是斜边AC的中点，F是直角边AB的中点，P是直角边BC上一动点，试探究：当PC＝_____时，四边形BPEF是中母矩形？（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）

Answer 1

【答案】（1）图详见解析，D（6，4）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）根据中母矩形的定义进而得出当BD∥x轴时，D在线段AC右侧即可；（2）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△EAC≌△GAB（SAS），进而得出EC⊥BG，得出答案即可；（3）根据中位线的性质可得EF的长，利用“中母矩形”的定义结合相似三角形的性质与判定可得出BP的长，进而可得PC的长.

（1）如图2所示：点D即为所求，D（6，4）；

（2）如图3，

∵四边形ABDE及ACFG是正方形，

∴∠EAB＝∠GAC＝90°，AG＝AC，AE＝AB，

∴∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC＝∠GAB

在△EAC和△GAB中

∴△EAC≌△GAB（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∴∠AEC＋∠AHE＝∠ABG＋∠BHO＝90°，

∴EC⊥BG，

∴四边形BEGC是中母矩形；

（3）如图4，连接BE，作FP⊥BE于O，交BC于P，连接EP，

∴四边形BPEF是中母矩形，

∵∠FPB＋∠BFP＝90°，∠EBF＋∠BFP＝90°，

∴∠FPB＝∠FBE，

∵E是斜边AC的中点，F是直角边AB的中点，

∴EF//BC，BF＝AB=4，EF＝BC=3，

∵∠FBC=90°，

∴∠EFB=180°-90°=90°，

∴∠EFB=∠FBP=90°

∴△BFE∽△PBF，

∴，

∴

∴PC=BC-BP=6-=

即当P在BC边上，PC=时，四边形BPEF是中母矩形.

故答案为：