Question

如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA²-AF²=4CE•EA；
（3）若弧AD=

1

2

弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD、ED为⊙O切线，由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．
（2）连接BF，AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知
ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA²-AF²=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF，将CF=2CE代入即可得出所求的结论．
（3）由于

AD

=

1

2

DB

则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=

1

2

r，ED=

3

2

r，则有S_阴影=S_梯形AODE-S_扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．

解答：（1）证明：连接OD，
∵ED为⊙O切线，∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA²-AF²=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA²-AF²=4CE•AE；

（3）解：∵

AD

=

1

2

DB

，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知△OAD为等边三角形，
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA=

1

2

r，ED=

3

2

r；
∴S_阴影=S_梯形AODE-S_扇形AOD=

( 1 2 r+r)• 3 r 2

2

-

1

6

πr2
=

3 3

8

r2-

1

6

πr2．

点评：本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、直角三角形的性质、平方差公式、圆周角定理、等边三角形的判定和性质以及梯形和扇形的面积计算方法等知识．