Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．

（1）求证：PB＝PC．

（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）10.

【解析】

（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理可得∠MBP=∠HCP，然后可得∠PBC=∠PCB，可证PB＝PC；

（2）利用AAS可直接证明△PMB≌△PHC，得到PM=PH=3，BM=CH，然后求出BM，在直角△ABH中利用勾股定理构建方程求出AM即可解决问题.

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵∠PMB=∠PHC=90°，∠MPB=∠HPC，

∴∠MBP=∠HCP，

∴∠ABC-∠MBP =∠ACB-∠HCP，即∠PBC=∠PCB，

∴PB＝PC；

（2）在△PMB和△PHC中，，

∴△PMB≌△PHC（AAS），

∴PM=PH=3，BM=CH，

∴BM=，AM=AH，

在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2，

∴(4+AM)2= AH2+(5+3)2，即(4+AM)2= AM2+82，

解得：AM=6，

∴AB=AM+BM=6+4=10.