Question

17．如图，点E在正方形ABCD对角线AC上，且EC=2.5AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于M，N．若正方形边长是a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

• A． $\frac{25}{49}$a²
• B． $\frac{12}{25}$a²
• C． $\frac{7}{9}$a²
• D． $\frac{16}{25}$a²

Answer 1

分析 过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

解答 解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠NEQ}&{\;}\\{EF=EQ}&{\;}\\{∠EPM=∠EQN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S_△EQN=S_△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵EC=2.5AE，
∴EC=$\frac{5\sqrt{2}}{7}$a，
∴正方形PCQE的面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{5\sqrt{2}}{7}$a）²=$\frac{25}{49}$a²，
∴四边形EMCN的面积=$\frac{25}{49}$a²．
故选：A．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．