题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=
，∠B=45°，动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿C→D→A，以同样速度向终点A运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求线段BC的长度；
（2）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，△MCN的面积S最大，并求出最大面积；
（3）试探索：当M，N在运动过程中，△MCN是否可能为等腰三角形？若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由．
【答案】分析：（1）根据已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，进而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的长即可得出答案；
（2）首先利用当0≤t≤5时，得出△NGC∽△DFC进而得出
，再利用当5≤t≤8时得出s与t的关系式求出即可；
（3）从当MC=NC时，当MN=NC时，当MN=MC时，分别分析得出即可．
解答：
解：（1）如图1，
分别过A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=
；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=
；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）
（2）①如图2，
当0≤t≤5时，CN=BM=t，
MC=10-t；
过N作NG⊥于BC于点G；∴△NGC∽△DFC
∴
，即
；
∴NG=
；
∴S=
；
∵
，函数开口向下；
∴当
时，Smax=10；（5分）
②如图3，
当5≤t≤8时，S=
；
∵-2＜0，即S随t的减小而增大；
∴当t=5时，Smax=10；（6分）
综上：
，
当t=5时，△MCN的面积S最大，最大值为10；
（3）当0≤t≤5时：CN=BM=t，MC=10-t；
①当MC=NC时，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②当NM=NC时，如图4，
过N作NH⊥BC于点H，
则有HC=MH，可得：
，
解得：
；（8分）
③当MN=MC时，如图4，
过M作MI⊥CD于I，CI=
，又
，
即：
，可得
，解得：
（舍去）；（9分）
当5＜t≤8时，如图5，
过C作CJ⊥AD的延长线于点J，过N作NK⊥BC于点K；
则：MC2=（10-t）2=t2-20t+100；MN2=（12-2t）2+42=4t2-48t+160；NC2=（t-2）2+42=t2-4t+20；
④当MC=NC时，t2-20t+100=t2-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤当MN=MC时，4t2-48t+160=t2-20t+100，
解得：
（舍去）；（11分）
⑥当MN=NC时，t2-4t+20=4t2-48t+160，
解得：
（舍去）．（12分）
综上：当
时，△MCN为等腰三角形．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值和一元二次方程的应用等知识，分别从当MC=NC时，当MN=NC时，当MN=MC时进行分类讨论注意不要漏解．
（2）首先利用当0≤t≤5时，得出△NGC∽△DFC进而得出
，再利用当5≤t≤8时得出s与t的关系式求出即可；（3）从当MC=NC时，当MN=NC时，当MN=MC时，分别分析得出即可．
解答：
解：（1）如图1，分别过A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=
；∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=
；（2分）∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）
（2）①如图2，
当0≤t≤5时，CN=BM=t，
MC=10-t；
过N作NG⊥于BC于点G；∴△NGC∽△DFC
∴
，即
；∴NG=
；
∴S=
；∵
，函数开口向下；∴当
时，Smax=10；（5分）②如图3，
当5≤t≤8时，S=
；
∵-2＜0，即S随t的减小而增大；
∴当t=5时，Smax=10；（6分）
综上：
，当t=5时，△MCN的面积S最大，最大值为10；
（3）当0≤t≤5时：CN=BM=t，MC=10-t；
①当MC=NC时，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②当NM=NC时，如图4，
过N作NH⊥BC于点H，
则有HC=MH，可得：
，解得：
；（8分）③当MN=MC时，如图4，
过M作MI⊥CD于I，CI=
，又
，即：
，可得
，解得：
（舍去）；（9分）当5＜t≤8时，如图5，
过C作CJ⊥AD的延长线于点J，过N作NK⊥BC于点K；
则：MC2=（10-t）2=t2-20t+100；MN2=（12-2t）2+42=4t2-48t+160；NC2=（t-2）2+42=t2-4t+20；
④当MC=NC时，t2-20t+100=t2-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤当MN=MC时，4t2-48t+160=t2-20t+100，
解得：
（舍去）；（11分）⑥当MN=NC时，t2-4t+20=4t2-48t+160，
解得：
（舍去）．（12分）综上：当
时，△MCN为等腰三角形．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值和一元二次方程的应用等知识，分别从当MC=NC时，当MN=NC时，当MN=MC时进行分类讨论注意不要漏解．
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