Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=4，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到△CA₁B₁
（1）画出旋转后得到的三角形△CA₁B₁；
（2）连接AA₁，线段AA₁的长是

4

2

，∠A₁CB的度数是

135°

；
（3）求证：四边形CA₁AB是平行四边形；
（4）求四边形CA₁AB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后对应点A₁、B₁的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据勾股定理列式计算即可求出AA₁，根据旋转角可得∠ACA₁，再求出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB=45°，然后根据∠A₁CB=∠A₁CA+∠ACB计算即可得解；
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（4）根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）解：△CA₁B₁如图所示；

（2）解：根据勾股定理，AA₁=

42+42

=4

2

，
∵旋转角为90°，
∴∠ACA₁=90°，
∵∠CAB=90°，AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠A₁CB=∠A₁CA+∠ACB=90°+45°=135°；

（3）证明：∵∠CAB=90°，AC=AB，旋转角为90°，
∴AB∥A₁C，AB=A₁C，
∴四边形CA₁AB是平行四边形；

（4）解：四边形CA₁AB的面积=4×4=16．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，勾股定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．