Question

观察下列各式：6²-4²=4×5，11²-9²=4×10，17²-15²=4×16，…，
（1）你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：51²-49²=4×

50

；75²-73²=4×．
（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．
写出等式：

（n+2）²-n²=4（n+1）

证明：
（3）计算乘积(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20112

)(1-

1

20122

)等于

2013

4024

．（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）发现的规律为相差为2的平方差等于这两数之间数的4倍，即可得到所求的结果；
（2）用字母表示出总结的规律，证明即可；
（3）利用平方差公式将所求每一个因式变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）发现的规律为：相差为2的平方差等于这两数之间数的4倍，
则51²-49²=4×50；75²-73²=4×74；
（2）得到的规律为：（n+2）²-n²=4（n+1），
证明：等式左边=n²+4n+4-n²=4n+4，右边=4n+4，
则左边=右边，故原等式成立；
（3）原式=（1+

1

2

）（1-

1

2

）（1+

1

3

）（1-

1

3

）…（1+

1

2012

）（1-

1

2012

）
=（

3

2

×

4

3

×…

2013

2012

）×（

1

2

×

2

3

×…×

2011

2012

）=

2013

2

×

1

2012

=

2013

4024

．
故答案为：（1）50；74；（2）（n+2）²-n²=4（n+1）；（3）

2013

4024

点评：此题考查了分式混合运算的应用，弄清题中的规律是解本题的关键．