Question

在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，点E为对角线BD的中点，连接AE并延长交线段BC于点F，AE=2

5

，BF=3，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：由于∠BAD=∠BCD=90°，点E为对角线BD的中点，根据圆周角定理的推论得点A和点C在以点E为圆心，BD为直径的圆上，如图，所以BD=2AE=4

5

，连接EC、AC，作CH⊥AD于H，再根据圆周角定理得到∠AEC=2∠ABC=90°，可判断△EAC为等腰直角三角形，所以AC=

2

AE=2

10

，∠EAC=45°，然后证明△CAF∽△CBA，利用相似比得2

10

：（3+CF）=CF：2

10

，可求得CF=3，则BC=CF+BF=8；在Rt△ADC中，根据勾股定理计算出CD=4，接着根据圆内接四边形的性质得∠CDH=∠ABC=45°，则△CDH为等腰直角三角形，则CH=DH=

2

2

CD=2

2

，于是可在Rt△AHC中，利用勾股定理计算出AH=4

2

，所以AD=AH-DH=2

2

．

解答：解：∵∠BAD=∠BCD=90°，点E为对角线BD的中点，
∴点A和点C在以点E为圆心，BD为直径的圆上，如图，则BD=2AE=4

5

，
连接EC、AC，作CH⊥AD于H，
∵∠AEC=2∠ABC=90°，
∴△EAC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

AE=

2

•2

5

=2

10

，∠EAC=45°，
∴∠CAF=∠CBA，
而∠ACF=∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA：CB=CF：CA，即2

10

：（3+CF）=CF：2

10

，
整理得CF²+3CF-40=0，解得CF=3或CF=-8（舍去），
∴BC=CF+BF=8，
在Rt△ADC中，CD=

BD2-BC2

=

(4 5 )2-82

=4，
∵∠CDH=∠ABC=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD=

2

2

×4=2

2

，
在Rt△AHC中，AH=

AC2-CH2

=

(2 10 )2-(2 2 )2

=4

2

，
∴AD=AH-DH=4

2

-2

2

=2

2

．
故答案为2

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等腰直角三角形的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．