Question

如图，正三角形A₁OB₁，正三角形A₂B₁B₂，正三角形A₃B₂B₃…按如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点B₁，B₂，B₃…分别在直线和x轴上．那么点A_n的纵坐标是    ．

Answer 1

【答案】分析：设B₁点坐标为（X₁，0），根据题中关系可以得出A₁点的坐标，同理根据B_n的坐标找到对应的A_n的坐标．
解答：解：设B₁点坐标为（X₁，0）
∵△A₁OB₁为正三角形．
∴A₁的横坐标为x₁
∵A₁在上
A₁点坐标为（x₁，x₁）
∴代入方程得A₁坐标（，）；
设B₁B₂长度为x则A₂坐标为（+，x）
∴代入方程得x=
∴A₂坐标（2，3）；
同理得A₃坐标（5，6）；
由A₁纵坐标=×2^1-1；
A₂纵坐标3=×2^2-1；
A₃纵坐标6=×2^3-1；
依此类推得A_n纵坐标为Y_n=×2^n-1．
点评：本题重点在于结合三角函数和直线方程得出A₁A₂A₃…的纵坐标，然后总结规律得到A_n的纵坐标．