Question

如图，正三角形A₁OB₁，正三角形A₂B₁B₂，正三角形A₃B₂B₃…按如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点B₁，B₂，B₃…分别在直线y=

3

3

x+1和x轴上．那么点A_n的纵坐标是

 

．

Answer 1

分析：设B₁点坐标为（X₁，0），根据题中关系可以得出A₁点的坐标，同理根据B_n的坐标找到对应的A_n的坐标．

解答：解：设B₁点坐标为（X₁，0）
∵△A₁OB₁为正三角形．
∴A₁的横坐标为

1

2

x₁
∵A₁在y=

3

3

x+1上
A₁点坐标为（

1

2

x₁，

3

2

x₁）
∴代入方程得A₁坐标（

3

2

，

3

2

）；
设B₁B₂长度为x则A₂坐标为（

3

2

+

x

2

，

3

2

x）
∴代入方程得x=

3 3

2

∴A₂坐标（2

3

，3）；
同理得A₃坐标（5

3

，6）；
由A₁纵坐标

3

2

=

3

2

×2^1-1；
A₂纵坐标3=

3

2

×2^2-1；
A₃纵坐标6=

3

2

×2^3-1；
依此类推得A_n纵坐标为Y_n=

3

2

×2^n-1．

点评：本题重点在于结合三角函数和直线方程得出A₁A₂A₃…的纵坐标，然后总结规律得到A_n的纵坐标．