题目内容

如图，正三角形A₁OB₁，正三角形A₂B₁B₂，正三角形A₃B₂B₃…按如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点B₁，B₂，B₃…分别在直线 $数学公式$ 和x轴上．那么点A_n的纵坐标是________．

$\text{[math]}$ ×2^n-1
分析：设B₁点坐标为（X₁，0），根据题中关系可以得出A₁点的坐标，同理根据B_n的坐标找到对应的A_n的坐标．
解答：设B₁点坐标为（X₁，0）
∵△A₁OB₁为正三角形．
∴A₁的横坐标为 $\text{[math]}$ x₁
∵A₁在 $\text{[math]}$ 上
A₁点坐标为（ $\text{[math]}$ x₁， $\text{[math]}$ x₁）
∴代入方程得A₁坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
设B₁B₂长度为x则A₂坐标为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ x）
∴代入方程得x= $\text{[math]}$
∴A₂坐标（2 $\text{[math]}$ ，3）；
同理得A₃坐标（5 $\text{[math]}$ ，6）；
由A₁纵坐标 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×2^1-1；
A₂纵坐标3= $\text{[math]}$ ×2^2-1；
A₃纵坐标6= $\text{[math]}$ ×2^3-1；
依此类推得A_n纵坐标为Y_n= $\text{[math]}$ ×2^n-1．
点评：本题重点在于结合三角函数和直线方程得出A₁A₂A₃…的纵坐标，然后总结规律得到A_n的纵坐标．