题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，点
在直线
上，
与直线相交所得的锐角为
，点
在直线上，
，垂足为点
，与点重合，
，以
为直径，在的右侧作半圆
，点
是半圆上任意一点．
（1）发现：连接
，则线段的最大值为____________；
（2）矩形保持不动，半圆沿直线向右平移，设平移距离为
．思考：点E落在边上时，求半圆与矩形重合部分的面积
；
（3）探究：在平移过程中，当半圆与矩形的边相切时，直接写出的值（参考数据：
结果保留根号）
【答案】（1）10；（2）
；（3）
或
或
【解析】
（1）当点M与点E重合时，AM有最大值，利用勾股定理即可求解；
（2）连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论；
（3）如图3所示，连结OH，OA．先证明AO为∠DAF的角平分线，则∠OAF=30°，利用特殊锐角三角函数值可求得AF的长，从而可求得x的值；如图4所示：连结OH，OA，如图5所示：延长CB交FA与G，连结OH，OG，同理可求得
的值．
（1）由题意可知EF=6，AF=8，EF⊥
，
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=
；
（2）如图2所示：连结OG，过点O作OH⊥EG于H．
∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．
∵OE=OG=
EF=3，
∴∠AEF=∠OGE=30°，
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2OE
=6
=3
，OH=OE=
，
∴S重合部分=S扇形GOE-S△GOE=
；
（3）如图3所示，AD为圆O的切线，H为切点，连结OH，OA．
则OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，∠DAF=60°，
∴AO为∠DAF的角平分线，
∴∠OAF=∠DAF =30°．
∴AF=OF=3．
∴
；
如图4所示：AB为圆O的切线，H为切点，连结OH，OA．
∵AH、AF均为圆O的切线，∠DAF=60°，
∴OA为∠HAF的角平分线，
∴∠OAF=
=75°，
∴
，即AF
．
∴
；
如图5所示：BC为圆O的切线，H为切点，延长CB交直线于G，连结OH，OG．
∵BC、FG为圆O的切线，
∴OG平分∠HGF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HGF =∠DAP=60°．
∴∠OGF=∠HGF =30°．
∵
，
，
∴AG=
，FG=
3，
∴AF= AG- FG=．
∴
；
综上所述，当的值为或或时，半圆O与矩形ABCD的边相切．
