Question

【题目】如图，双曲线与直线相交于，点P是x轴上一动点．

（1）求双曲线与直线的解析式；

（2）当时，直接写出x的取值范围；

（3）当是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），

【解析】

（1）根据点A，B在反比例函数图象上，求出m，k1，再代入直线解析式中，即可得出结论；
（2）根据图形和点A，B坐标即可得出结论；
（3）设出P坐标，利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论．

解：（1）∵A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数上，
∴ ，解得 ,
∴A（1，4），B（4，1）
∵点A，B在直线y2=k2x+b上，
∴ ，解得 ,
∴双曲线的解析式为y＝，直线的解析式为y=-x+5；
（2）∵点A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数和直线的交点坐标，
∴0＜x＜1或x＞4；
（3）设点P（a，0），
则PA2=（a-1）2+42，AB2=18，PB2=（a-4）2+12
①当PA=PB时，（a-1）2+42=（a-4）2+12
解得a=0，
∴P1（0，0），
②当PA=AB时，（a-1）2+42=18，
解得a1＝+1，a2＝+1，
∴P2(+1，0)，P3(+1，0)，
③当PB=AB时，（a-4）2+12=18，
解得a3＝+4，a4＝+4，
∴P4(+4，0)，P5(+4，0)，
综上述，P1（0，0），P2(+1，0)，P3(+1，0)，P4(+4，0)，P5(+4，0)．