Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.

Answer 1

（1）证明：直线DC与⊙O相切于点M .

 证明如下：连OM，∵DO∥MB，

        ∴∠1=∠2，∠3=∠4 .

        ∵OB=OM，

        ∴∠1=∠3 .

       ∴∠2=∠4 . 

     在△DAO与△DMO中，

       

        ∴△DAO≌△DMO .      ∴∠OMD=∠OAD .

        由于FA⊥x轴于点A，∴∠OAD=90°.

        ∴∠OMD=90°. 即OM⊥DC .

        ∴DC切⊙O于M.

    （2）解：由D（－2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4 .

         由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知= = = .

         ∴AC=2MC. 

         在Rt△ACD中，CD=MC＋4.

         由勾股定理，有(2MC)²＋4²=(MC＋4)²，解得MC= 或MC=0（不合，舍去）.

         ∴MC的长为. 

         ∴点C（，0）. 

         设直线DC的解析式为y = kx＋b .  

         则有

         解得

         ∴直线DC的解析式为 y =－x＋.