Question

【题目】如图，点，点是射线上一动点（不与点重合），过点作直线的平行线交轴于，过点作轴的垂线交直线于，连结，，．

（1）当点在线段上且时，__________．

（2）当与相似时，点的横坐标为____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）设BC与OP交于点D，先证出四边形PBOC为平行四边形，设BP=OC=OP=x，根据勾股定理求出CP和AP，然后根据AP＋OP=1即可求出x，再根据勾股定理求出AB和BC即可求出结论；

（2）根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，分别根据勾股定理求出AB、BC和AC，然后根据相似的性质可得三角形ABC为等腰直角三角形，从而求出结论．

解：（1）设BC与OP交于点D

∵CO⊥x轴，BP⊥x轴

∴CO∥BP

∵CP∥OB

∴四边形PBOC为平行四边形

∴BP=OC,BC=2CD，OD=OP

∵点B在y=x上

∴BP=OP

设BP=OC=OP=x

∴CP=x

∴AP= CP=x

∵点A的坐标为（-1,0）

∴AP＋OP=1

即x＋x=1

解得：x=－1

∴BP=OC=OP=－1，AP=2－，OD=

根据勾股定理可得AB=

CD==

∴BC=

∴

故答案为：．

（2）①当点P在线段OA上时，

由（1）可知，△OPC为等腰直角三角形，设BP=OC=OP=x（0＜x＜1），则AP=1－x

根据勾股定理：AC=，

AB=，

BC=2CD=2=2=

∵1－x＜1，

∴AB＜AC

若与相似时，

∴△ABC为等腰直角三角形，其中AB和BC为直角边

即

解得：x1=，x2=-1（不符合x的取值范围，故舍去）

即OP=

∵点P在OA上

∴点P的横坐标为；

当点P在AO的延长线上时，

同理可证：四边形OCPB为平行四边形，△OPC为等腰直角三角形，设BP=OC=OP=y（y＞0），则AP=1＋y

根据勾股定理：AC=，

AB=，

BC=2CD=2=2=

∵1＋y＞1，

∴AB＞AC

若与相似时，

∴△ABC为等腰直角三角形，其中AC和BC为直角边

即

解得：y1=，y2=（不符合y的取值范围，故舍去）

即OP=

∵点P在AO延长线上

∴点P的横坐标为．

综上：点P的横坐标为或．

故答案为：或．