Question

13．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0从而a+b≥2$\sqrt{ab}$（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+$\frac{m}{x}$；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以当x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为$\frac{4}{x}$，周长为2（x+$\frac{4}{x}$），求当x=2时，周长的最小值为8；
问题2：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），
当x=2时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为6；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）

Answer 1

分析 问题1：根据阅读2得到x+$\frac{4}{x}$的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：将$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$变形为（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，根据阅读2得到（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，的范围，进一步即可求解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再根据阅读2得到范围，从而求解．

解答 解：问题1：x=$\frac{4}{x}$（x＞0），解得x=2，
x=2时，x+$\frac{4}{x}$有最小值为2×$\sqrt{4}$=4．
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8．
问题2：∵函数y₁=x+1（x＞-1），函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
x+1=$\frac{9}{x+1}$，解得x=2，
x=2时，（x+1）+$\frac{9}{x+1}$有最小值为2×$\sqrt{9}$=6．
问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入=$\frac{4900+10x+0.01{x}^{2}}{x}$=10+0.01x+$\frac{4900}{x}$=10+0.01（x+$\frac{490000}{x}$），
x=$\frac{490000}{x}$（x＞0），解得x=700，
x=700时，x+$\frac{490000}{x}$有最小值为2×$\sqrt{490000}$=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．
故答案为：2，8；2，6．

点评 考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．