Question

如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（-2，-2），C（3，0），点P在线段AC上移动．当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作P点关于y轴的对称点P′，连接P′C交y轴于Q，此时PQ+QC=P′C；根据两点之间线段最短，Q就是使△PQC周长最小的点；先根据待定系数法求得直线AC的解析式，进而求得P的坐标，根据轴对称的性质求得P′的坐标，然后求得直线P′C的解析式，即可求得Q的坐标．

解答：解：∵A（0，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

b=4 3k+b=0

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直线AC的解析式为y=-

4

3

x+4；
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），
∴m=-

4

3

×1+4=

8

3

，
∴P（1，

8

3

），
作P点关于y轴的对称点P′，连接P′C交y轴于Q，此时PQ+QC=P′C，根据两点之间线段最短，Q就是使△PQC周长最小的点；
则P′（-1，

8

3

），
设直线P′C的解析式为y=mx+n，
∴

-m+n= 8 3 3m+n=0

，解得

m=- 2 3 n=2

，
∴直线P′C的解析式为y=-

2

3

x+2，
∴Q点的坐标为（0，2）．

点评：本题考查了待定系数法、轴对称的性质，熟练掌握待定系数法和轴对称的性质是本题的关键．