Question

4．如图，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6，AC=5，OA=4．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？
（3）是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，请说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么？

Answer 1

分析 （1）由OB=6，点B在x轴，得到B点的坐标，根据AC∥OB，AC=5，得到点C的坐标；
（2）根据不在同一直线的三点能组成一个三角形，得到以O、A、B、C中的三点为顶点可组成4个不同的三角形；
（3）过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•GN，因为QN、MP同时取得最大值是OB、OA，所以M应该和A重合，从而求得M的坐标．

解答 解：（1）∵OB=6，OA=4，
∴B（6，0）
∵AC∥OB，AC=5，
∴C（5，4）；

（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成的三角形为△AOB△AOC△BOC△ABC四个不同的三角形；

（3）如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，
则S_△MON=S_△OMP+S_{△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•GN}，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N与点B重合，M在AC上运动时，QN，MP同时取得最大值BO，OA，
∴△MON的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴M点与A点重合，
∴M（0，4），△MON的周长=10+$\sqrt{56}$，
当△OMN是等腰三角形时，点N与B重合，
则OM=MN，∴M（3，4），
∴△MON的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴△MON的周长=16＜10+$\sqrt{56}$，
∴存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短，
M（3，4）．

点评 本题考查了直角梯形的性质，坐标和图形的性质，轴对称的性质，不在同一直线的三点能组成一个三角形等知识点，作出辅助线是本题的关键．