Question

20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DM=DN，若△AMD的面积为100，△AND的面积为80；则△DEN的面积为10．

Answer 1

分析 由AD是∠BAC的平分线，得到∠DAP=∠DAN，推出△APD≌△AND，得到PD=ND，等量代换即可得到结论，过D作DG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到DE=DG，证得△DEN≌△DPG，由已知条件得到△DPM的面积等于20，根据等腰三角形的性质得到PG=$\frac{1}{2}$PM，于是得到结果．

解答 解：在AM上截取AP=AN，连接DP，过D作DG⊥AB于G，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAP=∠DAN，
在△APD与△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AN}\\{∠PAD=∠NAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AND，
∴PD=ND，
∵DM=DN，
∴DP=DM，
∵DG⊥AB，DE⊥AC，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC，
∴DH=DG，
在Rt△DEN与Rt△DPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DP}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEN≌Rt△DPG
∵△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，
∴△DPM的面积等于20，
∵DP=DM，DG⊥PM，
∴PG=$\frac{1}{2}$PM，
∴△DEN的面积=△DPG的面积=$\frac{1}{2}$△DPM的面积=10，
故答案为：10．

点评 本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．