Question

【题目】如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为　 　度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

Answer 1

【答案】解：（1）见详解；（2）① 60；②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等.理由见详解.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．

(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形

∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

，

∴△BAE≌△DAC(SAS)，

∴BE=CD；

(2)①∵∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAE=180°60°×2=60°，

∵边AD′落在AE上，

∴旋转角=∠DAE=60°.

故答案为：60.

②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.

理由如下：由旋转可知,AB′与AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′，

∴四边形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=12×60°=30°,DP∥BC，

∵△ACE是等边三角形，

∴AC=AE,∠ACE=60°，

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，

又∵DP∥BC，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，

在△BDD′与△CPD′中，

，

∴△BDD′≌△CPD′(ASA).