Question

9．某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据函数图象可知该函数分为三段，然后分别设出相应的函数解析式，根据图象提供的信息求出相应的函数解析式即可解答本题；
（2）根据第（1）问中的函数解析式可以求出所对应的利润，然后求出各段的最大利润然后进行比较即可解答本题．

解答 解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=66}\\{40k+b=36}\end{array}\right.$
解得，k=-3，b=156
∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=-3x+156；
当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{40m+n=36}\\{80m+n=16}\end{array}\right.$
解得，m=$-\frac{1}{2}$，n=56，
∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=$-\frac{1}{2}x+56$；
当80＜x≤83时，y=16；
由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+156}&{30＜x≤40}\\{-\frac{1}{2}x+56}&{40＜x≤80}\\{16}&{80＜x≤83}\end{array}\right.$；
（2）当30＜x≤40时，
w=（x-28）y
=（x-28）（-3x+156）
=-3x²+240x-4368
=-3（x-40）²+432
∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；
当40＜x≤80时，
w=（x-28）y
=（x-28）（$-\frac{1}{2}x+56$）
=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+70x-1568$
=$-\frac{1}{2}（x-70）^{2}+882$，
∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；
当80＜x≤83时，w=（x-28）×16
∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；
由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，
即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意根据图象可以求出各段对应的函数解析式，利用分类讨论的数学思想求出各段的最大利润．