题目内容

已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q精英家教网运动的时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？
（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；
（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；
②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．
分析：（1）可用t表示出OQ，BP的长，三角形OPQ中，OQ边上的高可用BP的长和∠PBO的正弦值求出，由此可得出关于S，t的函数关系式．
（2）本题分两种情况：
①∠BQP=∠BOA，此时PQ∥OA，那么BQ=PB•cos∠PBO．由此可求出t的值．
②∠BPQ=∠BOA，此时BP=BQ•sin∠PBO．由此可求出t的值．
（3）本题中无非是两种情况OQ⊥PQ或OP⊥QP，可分别表示出PO、QO、PQ三条线段的长，然后用勾股定理进行求解即可．
（4）①如果三角形OPQ是正三角形那么（3）中表示三条线段长的表达式必然相等，可通过解方程求出此时t的值，如果方程无解则说明三角形OPQ不可能是正三角形．
②思路同①，设出Q点的速度，然后表示出三条线段的长，令三条线段的表达式相等，即可求出Q的速度和t的值．
解答：解：（1）S=-0.3t2+
3
2
t当t=
5
2
时，S最大=
15
8
．

（2）①∠BQP=∠BOA，在直角三角形BQP中，BP=
4
5
BQ，
即5-t=
4
5
（4-t），
解得t=0．
②∠BPQ=∠BOA，在直角三角形BPQ中，BQ=
4
5
BP，
即4-t=
4
5
（5-t），
解得t=9；
因为0≤t≤4，
∴t=9不合题意，舍去．
因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似．

（3）若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，
则PQ=
PB2-QB2

=
(5-t)2-(4-t)2

=
9-2t
．
PO=
PM2+OM2

=
(
4
5
t)2+(3-
3
5
t)2

=
t2-
18
5
t+9
．
OQ=
OP2-PQ2

=
t2-
18
5
t+9-9+21

=
t2-
81
5
≠t（t无解）．
∴QP不与OQ垂直
设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ
∴
NQ
PQ
=
PQ
OQ
，
t
5
PQ
=
PQ
t

∴PQ2=
1
5
t2，PQ2=OQ2-OP2=t2-t2+
18
5
t-9=
18
5
t-9
1
5
t2=
18
5
t-9，
解得t=3，t=15（不合题意舍去）
∴当t=3是△OPQ是直角三角形．

（4）①PO=
t2-
18
5
t+9
，OQ=t，PQ=
(
t
5
)2+(3-
3
5
t)2

令PO=OQ=PQ，解t无解
∴△OPQ不能成为正三角形．
②设Q的速度为x，则OQ=xt．
OP2=t2-
18
5
t+9，OQ2=x2t2，PQ2=
15
25
t2-
24
5
t+12
令OP2=OQ2=PQ2
解得x=
8
5
，t=
-15±20
3
13

舍去负值，则t=
20
3
-15
13

因此Q点的速度为
8
5
，
t=
20
3
-15
13
．
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和等腰梯形，圆的有关性质等．要熟练掌握才能灵活运用．
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；
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