Question

4．在平面直角坐标系中，A（-m，0）、B（n，0），若$n=\sqrt{2-m}+\sqrt{2m-4}+4$．如图C在x轴上，BC=2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ．连接EF，点P为EF中点
（1）求A、B两点坐标；
（2）求P点运动的路径长为多少？
（3）求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据被开方数为非负数求出m与n的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）如图1所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，再由三角形AEQ与三角形BGF为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EQ与AH平行，EQ与BH平行，进而确定出四边形EQFH为平行四边形，根据P为EF的中点，得到P为HQ的中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P₁运动到P₂，利用中位线定理求出P点运动的路径长即可；
（3）如图2所示，设出OQ=m，表示出MQ，NQ，EM，FN，以及FD，EF，可得出当m=1时EF最小，求出EF的最小值即可．

解答 解：（1）∵n=$\sqrt{2-m}$+$\sqrt{2m-4}$+4，
∴m=2，n=4，即A（-2，0），B（4，0）；
（2）如图1所示，延长AE，BF交于点H，则△ABH为等边三角形，
∵△AEQ与△BFQ都为等边三角形，
∴∠EAQ=∠FQB=60°，∠AQE=∠QBF=60°，
∴FQ∥AH，EQ∥BH，
∴四边形EQFH为平行四边形，
∵P为EF的中点，
∴P为HQ中点，
随着点Q从O点向C点运动，点P也由P₁运动到P₂，
∴P₁P₂=$\frac{1}{2}$OC=1，
即P运动的路径为1；
（3）如图2所示，
设OQ=m（0≤m≤2），
则MQ=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$m+1，NQ=$\frac{1}{2}$BQ=-$\frac{1}{2}$m+2，EM=$\sqrt{3}$MQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\sqrt{3}$，
FN=$\sqrt{3}$NQ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+2$\sqrt{3}$，FD=FN-EM=-$\sqrt{3}$m+$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{F{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{F{D}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{3（m-1）^{2}+9}$，
当m=1时，EF有最小值为EF=3．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，二次根式的性质，以及中位线定理，熟练掌握中位线定理是解本题第二问的关键．