Question

（2013•沙市区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切与点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与⊙O相交于点E，连接BC．
（1）求证：△PAD∽△ABC；
（2）若PA=10，AD=6，求AB和PE的长．

Answer 1

分析：（1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角形ABC相似；
（2）在直角三角形APD中，利用勾股定理求出PD的长，进而确定出AC的长，由第一问两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径AO的长，在直角三角形APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP-OE即可求出PE的长．

解答：（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC；

（2）解：∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，
∴PD=

PA2-AD2

=8，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC=6，
∴AC=12，
∵△PAD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

AC

，
∴

10

AB

=

8

12

，
∴AB=15，
∴OE=

1

2

AB=

15

2

，
∵OP=

AO2+AP2

=

25

2

，
∴PE=OP-OE=

25

2

-

15

2

=5．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．